Chapter 1 Stress analysis

Stress vector

$\pmb{T}(\pmb{n})=\lim\limits_{\Delta s\to0}\frac{\Delta \pmb{F}}{\Delta S}$

$\pmb{T}(\pmb{n})=T_ie_i$

Stress tensor

$[\sigma_{ij}]= \left[ \begin{matrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \end{matrix} \right]$

斜六面体(Oblique hexahedron)3个正面上的应力矢量： $\pmb{T}(\pmb{e_i})=\sigma_{ik}\pmb{e_k}$

一点的应力张量$\sigma_{ij}$完全决定了该点的应力状态，即若已知3个相互垂直面上的应力矢量（表示为应力张量$\sigma_{ij}$）其他任意一斜面上的应力矢量可根据该点的平衡条件导出 $\Downarrow$

Cauchy formula (Oblique stress formula)

考虑由三个负面和一个斜面组成的微四面体，斜面的外法线单位矢量为$n$，

与3个坐标轴的投影分别为$l,m,n$(即与各坐标轴的夹角余弦)，由微四面体的平衡条件并且忽略高阶小量（体力项）可得

斜面的应力矢量为：

$\pmb{T}(\pmb{n})=\pmb{T}(\pmb{e_x})l+\pmb{T}(\pmb{e_y})m+\pmb{T}(\pmb{e_z})n=n_i\pmb{T}(\pmb{e_i})$

$T_j=n_i\sigma_{ij}$

$\Uparrow$ Cauchy公式，斜面应力公式

斜面的正应力分量: $\sigma_n=\pmb{T}(\pmb{n})\cdot \pmb{n}=T_jn_j=\sigma_{ij}n_in_j$

斜面的剪应力分量： $\tau_n=\sqrt{\Vert \pmb{T}(\pmb{n}) \Vert^2-\sigma_n^2}$

Equilibrium differential equation

使用微六面体代表物体内的一点,作用在微六面体上的所有力应满足平衡条件分别考虑微六面体在三个方向上的力平衡可得

平衡微分方程： $\sigma_{ij,i}+F_j=0$

$\pmb{F}$ 为体力

考虑对坐标轴的三个力矩平衡可得

剪应力互等定理： $\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$

Boundary conditions for force

力的边界条件指力边界上各点的应力与已知表面力应满足的关系

$n_i\sigma_{ij}=\bar{T}_j$

本质上是物体边界点的平衡条件

$\pmb{\bar{T}}$ 为该点上作用的表面力矢量

Coordinate transformation of stress components

旧坐标系的基矢量：$\pmb{e}_i$

新坐标系的基矢量：$\pmb{e^{'}}_i$，在旧坐标系中的投影为 $(l_i,m_i,n_i)$

定义新旧坐标的转换矩阵为 $[\beta]= \left[ \begin{matrix} l_{1} & m_{1} & n_{1}\\ l_{2} & m_{2} & n_{2} \\ l_{3} & m_{3} & n_{3} \end{matrix} \right]$

基矢量的坐标变换 $\pmb{e^{'}_i}=\beta_{ij}\pmb{e}_j$

由Cauchy斜面应力公式可知

$\pmb{T}(\pmb{e^{'}}_i)=\beta_{ij}\pmb{T}(\pmb{e}_j)=\beta_{ij}\sigma_{jk}\pmb{e}_k$

新坐标系下的应力分量为：

$\sigma^{'}_{mn}=\pmb{T}(\pmb{e^{'}}_m)\cdot\pmb{e^{'}}_n=\beta_{mi}\sigma_{ik}\pmb{e}_k \cdot \beta_{nj}\pmb{e}_j=\beta_{mi}\beta_{nj}\sigma_{ik}\delta_{kj}=\beta_{mi}\beta_{nj}\sigma_{ij}$

$\delta_{kj}$为Kronecker $\delta$ 符号，又称二阶单位张量

对应的矩阵形式为

$[\sigma']=[\beta][\sigma][\beta]^T$

应力分量在坐标变换时满足上述变换准则，因此应力为二阶张量

Principle stress & Stress tensor invariants

主平面上只有正应力的作用，剪应力为零

主平面的外法线方向称为主方向，沿三个主方向的直线称为主轴

$\pmb{T}(\pmb{n})=\sigma\pmb{n}$

$T_i=\sigma n_i$

由Cauchy公式可得关于$n_i$的齐次方程

$\begin{cases} (\sigma_x-\sigma)l+\tau_{yx}m+\tau_{zx}n=0\\ \tau_{xy}l+(\sigma_y-\sigma)m+\tau_{zy}n=0\\ \tau_{xz}l+\tau_{yz}m+(\sigma_z-\sigma)n=0\\ \end{cases}$

由于 $l^2+m^2+n^2=1$ 故该方程组应有非零解，因此系数矩阵行列式应为零

结合剪应力互等定理可得

$\begin{vmatrix} \sigma_x-\sigma & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y-\sigma & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z-\sigma \\ \end{vmatrix}=0$

展开可得一元三次方程

$\sigma^3-I_1\sigma^2+I_2\sigma-I_3=0$

其中

$I_1=\sigma_{kk}$

$I_2=\frac{1}{2}(I_1^2-\sigma_{ij}\sigma_{ij})$

$I_3=\frac{1}{3}(3I_1I_2-I_1^3+\sigma_{ij}\sigma_{jk}\sigma_{ki})$

解出三个特征根 $\sigma_i$ 即为主应力，回代求得三组 $n_i$ 可得三个主方向

主应力的特性：极值性、主方向相互垂直、$I_1,I_2,I_3$ 的坐标不变性

$I_1,I_2,I_3$ 的坐标不变性指的是，由其他坐标系下的应力分量求主应力时，由于主应力与坐标系的选择无关，因此待解方程的未知系数应保持一致，即$I_1,I_2,I_3$为坐标不变量

Maximum shear stress & Mohr cricle

在以主方向为坐标轴的坐标系中，以 $l,m,n$ 为投影的外法线所指示的任一斜面上的正应力 $\sigma_n$ 和剪应力 $\tau_n$应满足：

$\begin{cases} \tau_n^2+\sigma_n^2=\Vert \pmb{T}\Vert^2=(l\sigma_1)^2+(m\sigma_2)^2+(n\sigma_3)^2\\ \sigma_n=l^2\sigma_1+m^2\sigma_2+n^2\sigma_3\\ l^2+m^2+n^2=1\\ \end{cases}$

进而有

$l^2=\frac{\tau_n^2+(\sigma_n-\sigma_2)(\sigma_n-\sigma_3)}{(\sigma_1-\sigma_2)(\sigma_1-\sigma_3)}\geq 0$

$m^2=\frac{\tau_n^2+(\sigma_n-\sigma_3)(\sigma_n-\sigma_1)}{(\sigma_2-\sigma_3)(\sigma_2-\sigma_1)}\geq 0$

$n^2=\frac{\tau_n^2+(\sigma_n-\sigma_1)(\sigma_n-\sigma_2)}{(\sigma_3-\sigma_1)(\sigma_3-\sigma_2)}\geq 0$

设 $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \sigma_3$，有

$\tau_n^2+(\sigma_n-\frac{\sigma_2+\sigma_3}{2})^2 \geq \frac{(\sigma_2-\sigma_3)}{2}^2$

$\tau_n^2+(\sigma_n-\frac{\sigma_3+\sigma_1}{2})^2 \leq \frac{(\sigma_3-\sigma_1)}{2}^2$

$\tau_n^2+(\sigma_n-\frac{\sigma_1+\sigma_2}{2})^2 \geq \frac{(\sigma_1-\sigma_2)}{2}^2$

不同外法线方向的斜平面上 $\sigma_n,\tau_n$ 符合上述规律，并在$\sigma \sim \tau$ 坐标系中表示为Mohr图（Mohr圆，应力圆）

Mohr圆描述了一点的应力状态及其主应力、最大应力的情况

Mohr圆上各点的坐标代表与某个主应力方向平行面上的应力

平面应力状态的Mohr圆

对于微单元体中与xy坐标平面垂直且与x轴夹角为$\theta$的任意平面，外法线可表示为

$\pmb{n}=\cos\theta\pmb{e_x}+\sin\theta\pmb{e_y}$

xy平面内与外法线垂直的矢量表示为

$\pmb{s}=-\sin\theta\pmb{e_x}+\cos\theta\pmb{e_y}$

斜面的应力分量可表示为

$\sigma_n=\pmb{T}(\pmb{n})\cdot\pmb{n}=T_k\pmb{e}_k\cdot n_j\pmb{e}_j=n_i\sigma_{ik}n_j\delta_{kj}=n_in_j\sigma_{ij}$

$\tau_n=\pmb{T}(\pmb{n})\cdot\pmb{s}=T_k\pmb{e}_k\cdot s_j\pmb{e}_j=n_i\sigma_{ik}s_j\delta_{kj}=n_is_j\sigma_{ij}$

代入可得

$\sigma_n=\sigma_x\cos^2\theta+\sigma_y\sin^2\theta+2\tau_{xy}\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y)+\frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\cos 2\theta+\tau_{xy}\sin 2\theta$

$\tau_n=-(\sigma_x-\sigma_y)\sin\theta\cos\theta+\tau_{xy}(cos^2\theta-sin^2\theta)=-\frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\sin 2\theta+\tau_{xy}\cos 2\theta$

$\sigma_n$最右边第一项移到左端，两等式两端各取平方并相加，最终得：

$(\sigma_n-\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2})^2+\tau_n^2=(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2+\tau_{xy}^2$

主应力为 $\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2+\tau_{xy}^2}$

剪应力$\tau_n$使微单元体逆时针旋转为正

微单元体上斜面的外法线矢量$\pmb{n}$逆时针旋转$\theta$，在Mohr圆中对应点应顺时针旋转$2\theta$

最大剪应力方向所在的平面与中主应力平行（$\sigma_1\geq\sigma_2\geq\sigma_3$，$\sigma_2$为中主应力）与最大和最小主应力主方向的夹角为$45^{\circ}$，大小为Mohr圆半径

Stress deviator and its invariants

一点的应力状态可以分解为：静水压力状态和偏应力状态

$\sigma_{ij}=\sigma_0\delta_{ij}+s_{ij}$

球形张量：$\sigma_0\delta_{ij}$，其中 $\sigma_0=\frac{1}{3}\sigma_{ii}$

偏应力张量：$s_{ij}$

类似于应力不变量的推导过程，偏应力不变量为

$J_1=s_{kk}=tr[s_{ij}]=0$

$J_2=\frac{1}{2}s_{ij}s_{ij}=-I_2+\frac{1}{3}I_1^2$

$J_3=\frac{1}{3}s_{ij}s_{jk}s_{ki}=det[s_{ij}]=I_3-\frac{1}{3}I_1 I_2+\frac{2}{27}I_1^3$

Stress and equivalent stress on Octahedron

考虑物体中一点，过该点作一外法线$\pmb{n}$与三个主应力方向有相同角度的斜面，称为等斜面，共计8个

方向余弦为 $(l,m,n)=(\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\pm\frac{1}{\sqrt{3}})$

8个等斜面组成的微单元体称为八面体

等斜面上的剪应力和正应力分别表示为

$\tau_0=\frac{1}{3}\sqrt{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}=\sqrt{\frac{2}{3}J_2}=\sqrt{\frac{1}{3}s_{ij}s_{ij}}$

$\sigma_0=\frac{1}{3}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)$

等效应力/Von Mises应力：

$\overline{\sigma}=\sqrt{\frac{3}{2}s_{ij}s_{ij}}=\sqrt{3J_2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}$

Principle stress space & $\pi$ plane

建立由主应力$\sigma_i$为坐标轴的直角坐标系，称为主应力空间

主应力空间中任意一点代表物体一点的应力状态

$\overrightarrow{OP}=\sigma_i\pmb{e}_i$

静水压力轴：过原点$O$且与三个坐标轴具有相同夹角的直线

$\pi$平面：过原点$O$并以静水压力轴为法线的平面

任一应力状态$\overrightarrow{OP}$可分解为静水压力轴和$\pi$平面上投影的矢量和

$\overrightarrow{OP}=\sigma_o\pmb{e}_i+s_i\pmb{e}_i$

根据相应的几何关系建立$\pi$平面中任意一点的平面坐标$(x,y)$与主应力空间坐标$(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)$之间的关系

主偏应力矢量的模为

$r_{\sigma}=\sqrt{2J_2}$

主偏应力矢量与$\pi$平面中$x$轴的夹角为Lode角，记为$\theta_{\sigma}$

$\tan\theta_{\sigma}=\frac{1}{\sqrt{3}}\mu_{\sigma}$

其中$\mu_{\sigma}=\frac{2\sigma_2-\sigma_1-\sigma_3}{\sigma_1-\sigma_3}$为Lode参数，表示主应力之间的相对比值关系

偏应力张量的三个主值也可由$J_2$和Lode角确定，此处略

PS：材料失效强度理论

延性材料的失效由屈服产生，仅取决于偏应力分量

Rankine (Maximum principle stress theory)

屈服发生在最大(小)主应力等于材料的屈服强度

$\sigma_{max}=\sigma_y$
Tresca (Maximum shear stress theory)

屈服发生在最大剪应力等于单轴拉伸试验中屈服时剪应力

$\tau_{max}=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}=\tau_y$
Von Mises (Maximum distortion theory)

屈服发生材料的畸变能等于单轴拉伸试验中屈服时材料的畸变能

$u_d=u_{d,y}$

畸变能$u_d=\frac{1+\nu}{6E}[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2]$

单轴拉伸试验中屈服畸变能$u_{d,y}=\frac{1+\nu}{3E}\sigma_y^2$

进而可得屈服时

$\sigma_y=\sqrt{\frac{1}{2}(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}$

上式右端即为等效应力$\sigma_{eq}$

脆性材料失效由于断裂产生，受到静水压力和偏应力的共同影响

脆性材料一般抗压强度大于抗拉强度

Coulomb-Mohr理论（失效包络Coulomb-Mohr理论）

绘制单轴压缩试验和拉伸试验的两个相切的Mohr圆，作两圆的公切线，与该切线相切的Mohr圆代表的应力状态表示失效