Chapter 1 Stress analysis

Stress vector

\(\pmb{T}(\pmb{n})=\lim\limits_{\Delta s\to0}\frac{\Delta \pmb{F}}{\Delta S}\)

\(\pmb{T}(\pmb{n})=T_ie_i\)

Stress tensor

\([\sigma_{ij}]= \left[ \begin{matrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \end{matrix} \right]\)

斜六面体(Oblique hexahedron)3个正面上的应力矢量： \(\pmb{T}(\pmb{e_i})=\sigma_{ik}\pmb{e_k}\)

一点的应力张量\(\sigma_{ij}\)完全决定了该点的应力状态，即若已知3个相互垂直面上的应力矢量（表示为应力张量\(\sigma_{ij}\)）其他任意一斜面上的应力矢量可根据该点的平衡条件导出 \(\Downarrow\)

Cauchy formula (Oblique stress formula)

考虑由三个负面和一个斜面组成的微四面体，斜面的外法线单位矢量为\(n\)，

与3个坐标轴的投影分别为\(l,m,n\)(即与各坐标轴的夹角余弦)，由微四面体的平衡条件并且忽略高阶小量（体力项）可得

斜面的应力矢量为：

\(\pmb{T}(\pmb{n})=\pmb{T}(\pmb{e_x})l+\pmb{T}(\pmb{e_y})m+\pmb{T}(\pmb{e_z})n=n_i\pmb{T}(\pmb{e_i})\)

\(T_j=n_i\sigma_{ij}\)

\(\Uparrow\) Cauchy公式，斜面应力公式

斜面的正应力分量: \(\sigma_n=\pmb{T}(\pmb{n})\cdot \pmb{n}=T_jn_j=\sigma_{ij}n_in_j\)

斜面的剪应力分量： \(\tau_n=\sqrt{\Vert \pmb{T}(\pmb{n}) \Vert^2-\sigma_n^2}\)

Equilibrium differential equation

使用微六面体代表物体内的一点,作用在微六面体上的所有力应满足平衡条件 分别考虑微六面体在三个方向上的力平衡可得

平衡微分方程： \(\sigma_{ij,i}+F_j=0\)

\(\pmb{F}\) 为体力

考虑对坐标轴的三个力矩平衡可得

剪应力互等定理： \(\sigma_{ij}=\sigma_{ji}\)

Boundary conditions for force

力的边界条件指力边界上各点的应力与已知表面力应满足的关系

\(n_i\sigma_{ij}=\bar{T}_j\)

本质上是物体边界点的平衡条件

\(\pmb{\bar{T}}\) 为该点上作用的表面力矢量

Coordinate transformation of stress components

旧坐标系的基矢量：\(\pmb{e}_i\)

新坐标系的基矢量：\(\pmb{e^{'}}_i\)，在旧坐标系中的投影为 \((l_i,m_i,n_i)\)

定义新旧坐标的转换矩阵为 \([\beta]= \left[ \begin{matrix} l_{1} & m_{1} & n_{1}\\ l_{2} & m_{2} & n_{2} \\ l_{3} & m_{3} & n_{3} \end{matrix} \right]\)

基矢量的坐标变换 \(\pmb{e^{'}_i}=\beta_{ij}\pmb{e}_j\)

由Cauchy斜面应力公式可知

\(\pmb{T}(\pmb{e^{'}}_i)=\beta_{ij}\pmb{T}(\pmb{e}_j)=\beta_{ij}\sigma_{jk}\pmb{e}_k\)

新坐标系下的应力分量为：

\(\sigma^{'}_{mn}=\pmb{T}(\pmb{e^{'}}_m)\cdot\pmb{e^{'}}_n=\beta_{mi}\sigma_{ik}\pmb{e}_k \cdot \beta_{nj}\pmb{e}_j=\beta_{mi}\beta_{nj}\sigma_{ik}\delta_{kj}=\beta_{mi}\beta_{nj}\sigma_{ij}\)

\(\delta_{kj}\)为Kronecker \(\delta\) 符号，又称二阶单位张量

对应的矩阵形式为

\([\sigma']=[\beta][\sigma][\beta]^T\)

应力分量在坐标变换时满足上述变换准则，因此应力为二阶张量

Principle stress & Stress tensor invariants

主平面上只有正应力的作用，剪应力为零

主平面的外法线方向称为主方向，沿三个主方向的直线称为主轴

\(\pmb{T}(\pmb{n})=\sigma\pmb{n}\)

\(T_i=\sigma n_i\)

由Cauchy公式可得关于\(n_i\)的齐次方程

\(\begin{cases} (\sigma_x-\sigma)l+\tau_{yx}m+\tau_{zx}n=0\\ \tau_{xy}l+(\sigma_y-\sigma)m+\tau_{zy}n=0\\ \tau_{xz}l+\tau_{yz}m+(\sigma_z-\sigma)n=0\\ \end{cases}\)

由于 \(l^2+m^2+n^2=1\) 故该方程组应有非零解，因此系数矩阵行列式应为零

结合剪应力互等定理可得

\(\begin{vmatrix} \sigma_x-\sigma & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y-\sigma & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z-\sigma \\ \end{vmatrix}=0\)

展开可得一元三次方程

\(\sigma^3-I_1\sigma^2+I_2\sigma-I_3=0\)

其中

\(I_1=\sigma_{kk}\)

\(I_2=\frac{1}{2}(I_1^2-\sigma_{ij}\sigma_{ij})\)

\(I_3=\frac{1}{3}(3I_1I_2-I_1^3+\sigma_{ij}\sigma_{jk}\sigma_{ki})\)

解出三个特征根 \(\sigma_i\) 即为主应力，回代求得三组 \(n_i\) 可得三个主方向

主应力的特性：极值性、主方向相互垂直、\(I_1,I_2,I_3\) 的坐标不变性

\(I_1,I_2,I_3\) 的坐标不变性指的是，由其他坐标系下的应力分量求主应力时，由于主应力与坐标系的选择无关，因此待解方程的未知系数应保持一致，即\(I_1,I_2,I_3\)为坐标不变量

Maximum shear stress & Mohr cricle

在以主方向为坐标轴的坐标系中，以 \(l,m,n\) 为投影的外法线所指示的任一斜面上的正应力 \(\sigma_n\) 和剪应力 \(\tau_n\)应满足：

\(\begin{cases} \tau_n^2+\sigma_n^2=\Vert \pmb{T}\Vert^2=(l\sigma_1)^2+(m\sigma_2)^2+(n\sigma_3)^2\\ \sigma_n=l^2\sigma_1+m^2\sigma_2+n^2\sigma_3\\ l^2+m^2+n^2=1\\ \end{cases}\)

进而有

\(l^2=\frac{\tau_n^2+(\sigma_n-\sigma_2)(\sigma_n-\sigma_3)}{(\sigma_1-\sigma_2)(\sigma_1-\sigma_3)}\geq 0\)

\(m^2=\frac{\tau_n^2+(\sigma_n-\sigma_3)(\sigma_n-\sigma_1)}{(\sigma_2-\sigma_3)(\sigma_2-\sigma_1)}\geq 0\)

\(n^2=\frac{\tau_n^2+(\sigma_n-\sigma_1)(\sigma_n-\sigma_2)}{(\sigma_3-\sigma_1)(\sigma_3-\sigma_2)}\geq 0\)

设 \(\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \sigma_3\)，有

\(\tau_n^2+(\sigma_n-\frac{\sigma_2+\sigma_3}{2})^2 \geq \frac{(\sigma_2-\sigma_3)}{2}^2\)

\(\tau_n^2+(\sigma_n-\frac{\sigma_3+\sigma_1}{2})^2 \leq \frac{(\sigma_3-\sigma_1)}{2}^2\)

\(\tau_n^2+(\sigma_n-\frac{\sigma_1+\sigma_2}{2})^2 \geq \frac{(\sigma_1-\sigma_2)}{2}^2\)

不同外法线方向的斜平面上 \(\sigma_n,\tau_n\) 符合上述规律，并在\(\sigma \sim \tau\) 坐标系中表示为Mohr图（Mohr圆，应力圆）

Mohr圆描述了一点的应力状态及其主应力、最大应力的情况

Mohr圆上各点的坐标代表与某个主应力方向平行面上的应力

平面应力状态的Mohr圆

对于微单元体中与xy坐标平面垂直且与x轴夹角为\(\theta\)的任意平面，外法线可表示为

\(\pmb{n}=\cos\theta\pmb{e_x}+\sin\theta\pmb{e_y}\)

xy平面内与外法线垂直的矢量表示为

\(\pmb{s}=-\sin\theta\pmb{e_x}+\cos\theta\pmb{e_y}\)

斜面的应力分量可表示为

\(\sigma_n=\pmb{T}(\pmb{n})\cdot\pmb{n}=T_k\pmb{e}_k\cdot n_j\pmb{e}_j=n_i\sigma_{ik}n_j\delta_{kj}=n_in_j\sigma_{ij}\)

\(\tau_n=\pmb{T}(\pmb{n})\cdot\pmb{s}=T_k\pmb{e}_k\cdot s_j\pmb{e}_j=n_i\sigma_{ik}s_j\delta_{kj}=n_is_j\sigma_{ij}\)

代入可得

\(\sigma_n=\sigma_x\cos^2\theta+\sigma_y\sin^2\theta+2\tau_{xy}\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y)+\frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\cos 2\theta+\tau_{xy}\sin 2\theta\)

\(\tau_n=-(\sigma_x-\sigma_y)\sin\theta\cos\theta+\tau_{xy}(cos^2\theta-sin^2\theta)=-\frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\sin 2\theta+\tau_{xy}\cos 2\theta\)

\(\sigma_n\)最右边第一项移到左端，两等式两端各取平方并相加，最终得：

\((\sigma_n-\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2})^2+\tau_n^2=(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2+\tau_{xy}^2\)

主应力为 \(\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2})^2+\tau_{xy}^2}\)

剪应力\(\tau_n\)使微单元体逆时针旋转为正

微单元体上斜面的外法线矢量\(\pmb{n}\)逆时针旋转\(\theta\)，在Mohr圆中对应点应顺时针旋转\(2\theta\)

最大剪应力方向所在的平面与中主应力平行（\(\sigma_1\geq\sigma_2\geq\sigma_3\)，\(\sigma_2\)为中主应力）与最大和最小主应力主方向的夹角为\(45^{\circ}\)，大小为Mohr圆半径

Stress deviator and its invariants

一点的应力状态可以分解为：静水压力状态和偏应力状态

\(\sigma_{ij}=\sigma_0\delta_{ij}+s_{ij}\)

球形张量：\(\sigma_0\delta_{ij}\)， 其中 \(\sigma_0=\frac{1}{3}\sigma_{ii}\)

偏应力张量：\(s_{ij}\)

类似于应力不变量的推导过程，偏应力不变量为

\(J_1=s_{kk}=tr[s_{ij}]=0\)

\(J_2=\frac{1}{2}s_{ij}s_{ij}=-I_2+\frac{1}{3}I_1^2\)

\(J_3=\frac{1}{3}s_{ij}s_{jk}s_{ki}=det[s_{ij}]=I_3-\frac{1}{3}I_1 I_2+\frac{2}{27}I_1^3\)

Stress and equivalent stress on Octahedron

考虑物体中一点，过该点作一外法线\(\pmb{n}\)与三个主应力方向有相同角度的斜面，称为等斜面，共计8个

方向余弦为 \((l,m,n)=(\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\pm\frac{1}{\sqrt{3}})\)

8个等斜面组成的微单元体称为八面体

等斜面上的剪应力和正应力分别表示为

\(\tau_0=\frac{1}{3}\sqrt{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}=\sqrt{\frac{2}{3}J_2}=\sqrt{\frac{1}{3}s_{ij}s_{ij}}\)

\(\sigma_0=\frac{1}{3}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)\)

等效应力/Von Mises应力：

\(\overline{\sigma}=\sqrt{\frac{3}{2}s_{ij}s_{ij}}=\sqrt{3J_2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}\)

Principle stress space & \(\pi\) plane

建立由主应力\(\sigma_i\)为坐标轴的直角坐标系，称为主应力空间

主应力空间中任意一点代表物体一点的应力状态

\(\overrightarrow{OP}=\sigma_i\pmb{e}_i\)

静水压力轴：过原点\(O\)且与三个坐标轴具有相同夹角的直线

\(\pi\)平面：过原点\(O\)并以静水压力轴为法线的平面

任一应力状态\(\overrightarrow{OP}\)可分解为静水压力轴和\(\pi\)平面上投影的矢量和

\(\overrightarrow{OP}=\sigma_o\pmb{e}_i+s_i\pmb{e}_i\)

根据相应的几何关系建立\(\pi\)平面中任意一点的平面坐标\((x,y)\)与主应力空间坐标\((\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\)之间的关系

主偏应力矢量的模为

\(r_{\sigma}=\sqrt{2J_2}\)

主偏应力矢量与\(\pi\)平面中\(x\)轴的夹角为Lode角，记为\(\theta_{\sigma}\)

\(\tan\theta_{\sigma}=\frac{1}{\sqrt{3}}\mu_{\sigma}\)

其中\(\mu_{\sigma}=\frac{2\sigma_2-\sigma_1-\sigma_3}{\sigma_1-\sigma_3}\)为Lode参数，表示主应力之间的相对比值关系

偏应力张量的三个主值也可由\(J_2\)和Lode角确定，此处略

PS：材料失效强度理论

延性材料的失效由屈服产生，仅取决于偏应力分量

• Rankine (Maximum principle stress theory)

  屈服发生在最大(小)主应力等于材料的屈服强度

\(\sigma_{max}=\sigma_y\)

• Tresca (Maximum shear stress theory)

  屈服发生在最大剪应力等于单轴拉伸试验中屈服时剪应力

  \(\tau_{max}=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}=\tau_y\)

• Von Mises (Maximum distortion theory)

  屈服发生材料的畸变能等于单轴拉伸试验中屈服时材料的畸变能

  \(u_d=u_{d,y}\)

  畸变能\(u_d=\frac{1+\nu}{6E}[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2]\)

  单轴拉伸试验中屈服畸变能\(u_{d,y}=\frac{1+\nu}{3E}\sigma_y^2\)

  进而可得屈服时

  \(\sigma_y=\sqrt{\frac{1}{2}(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}\)

  上式右端即为等效应力\(\sigma_{eq}\)

脆性材料失效由于断裂产生，受到静水压力和偏应力的共同影响

脆性材料一般抗压强度大于抗拉强度

Coulomb-Mohr理论（失效包络Coulomb-Mohr理论）

绘制单轴压缩试验和拉伸试验的两个相切的Mohr圆，作两圆的公切线，与该切线相切的Mohr圆代表的应力状态表示失效

Chapter 2 Strain analysis

Concept of deformation and strain

位移

物体内物质点A的位置矢量 \(\pmb{r}=x\pmb{e}_x+y\pmb{e}_y+z\pmb{e}_z\)，外力作用下A的位置矢量变为 \(\pmb{R}=x'\pmb{e}_x+y'\pmb{e}_y+z'\pmb{e}_z\)

\(x,y,z\) 称为物质坐标

A点的位移表示为两位置矢量之差 \(\pmb{u}(\pmb{r})=\pmb{R}-\pmb{r}\)

各点位移矢量的集合确定了物体的位移场，弹塑性力学中，通常假定位移场足够光滑，存在三阶以上连续导数

变形

物体经过位移后大小形状发生改变，称为变形

变形包括体积改变和形状畸变，位移远小于物体最小尺寸时称为小变形

应变

通过过物体内一点的任意微小线段即线元，在变形前后长度相对改变和方向相对改变，来描述物体内一点的变形

正应变： \(\varepsilon=\frac{l-l_0}{l_0}\) （变形前后线元长度相对改变，伸长为正，缩短为负）

剪应变：\(\gamma=\frac{\pi}{2}-\alpha\) (变形前后线元方向相对改变，夹角锐化为正，钝化为负)

\(\alpha\)为变形后两线元（线元及与其在变形前垂直的辅助线元）之间的夹角

Strain tensor & Geometric equation

考察线元\(AB\)的变形情况，A的空间位置坐标\((x,y,z)\)，B的空间位置坐标\((x+dx,y+dy,z+dz)\)，变形后到达新位置\(A'B'\)

B和A之间的相对位移矢量定义为\(d\pmb{u}=\overrightarrow{BB'}-\overrightarrow{AA'}=\pmb{u}_B-\pmb{u}_A\)

利用Talyor级数将\(B\)点位移相对\(A\)点展开，并略去二阶以上高阶项，相对位移分量为：

\(du_i=(u_i)_B-(u_i)_A=u_{i,j}dx_j\)

其中\(u_{i,j}\)为位移梯度张量（一般不对称）

\([u_{i,j}]=[\frac{\partial u_i}{\partial x_j}]= \left[ \begin{matrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{\partial u_x}{\partial y} & \frac{\partial u_x}{\partial z}\\ \frac{\partial u_y}{\partial x} & \frac{\partial u_y}{\partial y} & \frac{\partial u_y}{\partial z}\\ \frac{\partial u_z}{\partial x} & \frac{\partial u_z}{\partial y} & \frac{\partial u_z}{\partial z} \end{matrix} \right]\)

正应变

变形前后线元的长度改变为

\(\Vert d\pmb{R} \Vert^2-\Vert d\pmb{r} \Vert^2=(du_i+dx_i)(du_i+dx_i)-dx_idx_i\)

在小变形假定下，位移梯度张量的分量均为小量，满足 \(\vert \frac{\partial u_i}{\partial x_j} \vert \ll 1\)，相应的乘积项可忽略

因此有

\(\frac{1}{2}(\Vert d\pmb{R} \Vert^2-\Vert d\pmb{r} \Vert^2)=du_i dx_i=u_{i,j}dx_i dx_j=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})dx_i dx_j\)

其中\(n_i=\frac{dx_i}{\Vert d\pmb{r} \Vert}\)为方向余弦（同上）

考虑小变形假定，\(\Vert d\pmb{R} \Vert-\Vert d\pmb{r} \Vert \ll \Vert d\pmb{r} \Vert\)

\(\frac{1}{2}(\Vert d\pmb{R} \Vert^2-\Vert d\pmb{r} \Vert^2)=\frac{1}{2}(\Vert d\pmb{R} \Vert-\Vert d\pmb{r} \Vert)(\Vert d\pmb{R} \Vert+\Vert d\pmb{r} \Vert)\approx\frac{1}{2}(\Vert d\pmb{R} \Vert-\Vert d\pmb{r} \Vert)2\Vert d\pmb{r} \Vert=(\Vert d\pmb{R} \Vert-\Vert d\pmb{r} \Vert)\Vert d\pmb{r} \Vert\)

上式除以\(\Vert d\pmb{r} \Vert^2\) ，再结合线元\(AB\)的方向余弦 \(n_i=\frac{dx_i}{\Vert d\pmb{r} \Vert}\), 即得正应变表达式

\(\varepsilon_n=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})n_i n_j\)

剪应变

线元\(AB\)的单位方向矢量为\(\pmb{n}\)，与\(AB\)垂直的线元为\(AC\)，单位方向矢量为\(\pmb{s}\)，变形后分别为和\(A'C'\)

定义应变矢量\(\pmb{E}(\pmb{n})=\frac{du_i}{\Vert d\pmb{r} \Vert}\pmb{e}_i=\frac{u_{i,j}dx_j}{\Vert d\pmb{r} \Vert}=u_{i,j}n_j\pmb{e}_i\)

考虑小变形假定，线元\(AB\)变形到\(A'B'\)产生的转角是

\(\alpha\approx\frac{d\pmb{u}\cdot\pmb{s}}{\Vert d\pmb{R} \Vert}\approx\frac{d\pmb{u}\cdot\pmb{s}}{\Vert d\pmb{r} \Vert}=\pmb{E}(\pmb{n})\cdot\pmb{s}\)

同理可得线元\(AC\)变形到\(A'C'\)产生的转角是

\(\beta=\pmb{E}(\pmb{s})\cdot\pmb{n}\)

最终可得剪应变

\(\gamma_{ns}=\alpha+\beta=\pmb{E}(\pmb{n})\cdot\pmb{s}+\pmb{E}(\pmb{s})\cdot\pmb{n}=u_{i,j}n_j\pmb{e}_i\cdot s_k\pmb{e}_k+u_{i,j}s_j\pmb{e}_i\cdot n_k\pmb{e}_k=u_{i,j}n_j s_i+u_{i,j}s_j n_i=(u_{i,j}+u_{j,i})s_i n_j\)

和正应变统一形式可得剪应变为：

\(\frac{1}{2}\gamma_{ns}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})s_i n_j\)

应变张量 & 几何方程

\(\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})\)定义了任意方向线元的应变，决定了一点的应变状态，是位移梯度张量对称化的结果，构成了应变张量

\(\varepsilon_{i,j}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})\)

上式定义了应变张量分量与位移分量之间的关系，称为几何方程（小应变、小转动）

几何方程的6个关系式(应变张量对称)是线性时，称为几何线性

\([\varepsilon_{ij}]= \left[ \begin{matrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{1}{2}(\frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x}) & \frac{1}{2}(\frac{\partial u_x}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial x})\\ \frac{1}{2}(\frac{\partial u_y}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial y}) & \frac{\partial u_y}{\partial y} & \frac{1}{2}(\frac{\partial u_y}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial y})\\ \frac{1}{2}(\frac{\partial u_z}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial z}) & \frac{1}{2}(\frac{\partial u_z}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial z}) & \frac{\partial u_z}{\partial z} \end{matrix} \right]\)

应变张量的非对角分量\(\varepsilon_{ij}(i\neq j)\)为\(i\)轴方向和\(j\)轴方向之间的剪应变的一半

从而任意线元的应变用应变张量表示为：

\(\varepsilon_n=\varepsilon_{ij}n_i n_j\)

\(\frac{1}{2}\gamma_{ns}=\varepsilon_{ij}s_i n_j\)

Rigid body rotation & Rotation tensor

转动张量

当物体仅产生刚体转动时，线元长度应保持不变，因此对于刚体转动，位移梯度张量必须是反对称的，即

\(u_{i,j}=-u_{j,i}\)

位移梯度张量可以分解为应变张量\(\varepsilon_{i,j}\)和转动张量\(\Omega_{i,j}\)之和

任意二阶张量可以分解为一个对称张量和反对称张量之和

\(u_{i,j}=\varepsilon_{ij}+\Omega_{ij}\)

其中 \(\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})\)，\(\Omega_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}-u_{j,i})\)

转动张量展开表示为：

\([\Omega_{ij}]= \left[ \begin{matrix} 0 & \frac{1}{2}(\frac{\partial u_x}{\partial y}-\frac{\partial u_y}{\partial x}) & \frac{1}{2}(\frac{\partial u_x}{\partial z}-\frac{\partial u_z}{\partial x})\\ \frac{1}{2}(\frac{\partial u_y}{\partial x}-\frac{\partial u_x}{\partial y}) & 0 & \frac{1}{2}(\frac{\partial u_y}{\partial z}-\frac{\partial u_z}{\partial y}) \\ \frac{1}{2}(\frac{\partial u_z}{\partial x}-\frac{\partial u_x}{\partial z}) & \frac{1}{2}(\frac{\partial u_z}{\partial y}-\frac{\partial u_y}{\partial z}) & 0 \end{matrix} \right]\)

转动张量有三个独立的分量

\(\omega_x=\Omega_{32}=-\Omega_{23}\)，\(\omega_y=\Omega_{13}=-\Omega_{31}\)，\(\omega_z=\Omega_{21}=-\Omega_{12}\)

将上述位移梯度表达式代入相对位移分量表达式，即 \(du_i=(u_i)_B-(u_i)_A=u_{i,j}dx_j\)

可得 \(du_i=\Omega_{ij}dx_j+\varepsilon_{ij}dx_j\)，使用矩阵形式可表示为：

\(\left[ \begin{matrix} u_x\\ u_y\\ u_z \end{matrix} \right]_B= \left[ \begin{matrix} u_x\\ u_y\\ u_z \end{matrix} \right]_A+ \left[ \begin{matrix} 0 & -\omega_z & \omega_y\\ \omega_z & 0 & -\omega_x\\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} dx\\ dy\\ dz \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} \varepsilon_x & \frac{1}{2}\gamma_{xy} & \frac{1}{2}\gamma_{xz}\\ \frac{1}{2}\gamma_{yx} & \varepsilon_y & \frac{1}{2}\gamma_{yz}\\ \frac{1}{2}\gamma_{zx} & \frac{1}{2}\gamma_{zy} & \varepsilon_z \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} dx\\ dy\\ dz \end{matrix} \right]\)

上式表面线元\(AB\)的位移由三部分组成：A点的平动+转动张量引起的刚体转动+应变张量引起的纯变形

转动矢量

转动矢量/转动张量\(\Omega_{ij}\)的反偶矢量： \(\pmb{\omega}=\omega_i\pmb{e}_i\)

转动张量引起的转动可以看作是转动矢量\(\pmb{\omega}\)和线元矢量\(d\pmb{r}\)的矢量积

\(\Omega_{ij}dx_j=(\pmb{\omega}\times d\pmb{r})_i\)

几何含义：线元的末端点\(B\)，以\(\pmb{\omega}\)方向的直线为转轴，绕\(A\)点的刚体转动，转动角度即为转动矢量的模\(\Vert \pmb{\omega} \Vert\)

刚体运动时（\(\pmb{\omega}\)为常数，\(\pmb{\varepsilon}=0\)）任意一点的位移矢量表示： \(\pmb{u}'=\pmb{u}+\pmb{\omega}\times\pmb{r}\)

Volume strain

设微六面体的边长分别是\(dx,dy,dz\)，以原点\(M\)为起点的三条线元沿坐标轴投影分别为

\(\overrightarrow{MA}=[dx,0,0]\)，\(\overrightarrow{MB}=[0,dy,0]\)，\(\overrightarrow{MC}=[0,0,dz]\)

变形前体积为\(V_0=\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=dxdydz\)

变形后线元沿坐标轴投影为

\(dR_i=dr_i+du_i=dr_i+du_{i,j}dx_j\)

进而可得

\(\overrightarrow{M'A'}=[(1+\frac{\partial u_x}{\partial x})dx,\frac{\partial u_y}{\partial x}dx,\frac{\partial u_z}{\partial x}dx]\)

\(\overrightarrow{M'B'}=[\frac{\partial u_x}{\partial y}dy,(1+\frac{\partial u_y}{\partial y})dy,\frac{\partial u_z}{\partial y}dy]\)

\(\overrightarrow{M'C'}=[\frac{\partial u_x}{\partial z}dz,\frac{\partial u_y}{\partial z}dz,(1+\frac{\partial u_z}{\partial z})dz]\)

微六面体变形后的体积是

\(V=\overrightarrow{M'A'}\times \overrightarrow{M'B'}\cdot \overrightarrow{M'C'}= \left[ \begin{matrix} (1+\frac{\partial u_x}{\partial x})dx & \frac{\partial u_y}{\partial x}dx & \frac{\partial u_z}{\partial x}dx\\ \frac{\partial u_x}{\partial y}dy & (1+\frac{\partial u_y}{\partial y})dy & \frac{\partial u_z}{\partial y}dy\\ \frac{\partial u_x}{\partial z}dz & \frac{\partial u_y}{\partial z}dz & (1+\frac{\partial u_z}{\partial z})dz \end{matrix} \right]\)

在小变形假定下，位移梯度张量的分量都是小量，乘积项可以略去，可得

\(V=(1+\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}+\frac{\partial u_z}{\partial z})dxdydz=(1+\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z)dxdydz\)

体积应变为：

\(\varepsilon_v=\frac{V-V_0}{V_0}=\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z\)

体积应变与剪切应变分量无关，即剪切应变不改变物体体积

Properties of strain tensor

类似于应力张量，应变张量的坐标转换： \(\varepsilon_{m'n'}=\beta_{m'i}\beta_{n'i}\varepsilon_{ij}\)

其中\(\beta_{m'i}\)和\(\beta_{n'j}\)代表新坐标轴\(m',n'\)在旧坐标系下的方向余弦

主应变和应变不变量

类似于应力张量

应变主方向/应变主轴：在此方向上只有正应变没有剪应变，其应变值称为主值或主应变

应变主轴相互垂直

设应变主方向为\(\pmb{n}\)，主值为\(\varepsilon\)，沿主应变方向取线元，只考虑线元的纯变形

线元的相对位移方向与\(\pmb{n}\)相同，因此，线元的应变矢量方向与\(\pmb{n}\)相同，即

\(\pmb{E}(\pmb{n})=\varepsilon\pmb{n}\)

\(E_i=\varepsilon_i n_i\)

纯变形中，转动张量\(\Omega_{ij}=0\)，位移梯度张量\(u_{i,j}\)与应变张量\(\varepsilon_{ij}\)相等

\(E_i=u_{i,j}n_j=\varepsilon_{ij}n_j= \left[ \begin{matrix} \varepsilon_x & \frac{1}{2}\gamma_{xy} & \frac{1}{2}\gamma_{xz}\\ \frac{1}{2}\gamma_{yx} & \varepsilon_y & \frac{1}{2}\gamma_{yz}\\ \frac{1}{2}\gamma_{zx} & \frac{1}{2}\gamma_{zy} & \varepsilon_z \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} l\\ m\\ n \end{matrix} \right]\)

由上述两个\(E_i\)的表达式可以建立\(n_i\)非零解条件的特征方程

\(\varepsilon^3-D_1\varepsilon^2+D_2\varepsilon-D_3=0\)

应变张量的第一坐标不变量：\(D_1=\varepsilon_{kk}\) (体积应变)

应变张量的第二坐标不变量：\(D_2=\frac{1}{2}(D_1^2-\varepsilon_{ij}\varepsilon_{ij})\)

应变张量的第三坐标不变量：\(D_3=\frac{1}{3}(3D_1D_2-D_1^3+\varepsilon_{ij}\varepsilon_{jk}\varepsilon_{ki})\)

解特征方程求得主值，再回代求出主方向，与主应力求解过程相似，此处略~

应变张量的分解

类似于应力张量，应变张量可分解为

\(\varepsilon_{ij}=\varepsilon_0\delta_{ij}+e_{ij}\)

其中\(\varepsilon_0=\frac{1}{3}(\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z)\)为平均应变，\(e_{ij}\)为偏应变张量

\(\varepsilon_{ij}=\varepsilon_0\delta_{ij}\) 对应体积的等向膨胀或收缩，没有形状畸变

\(\varepsilon_{ij}=e_{ij}\) 对应的应变状态为只有形状畸变而没有体积改变

偏应变主值求解：

\(e^3-D'_1e^2+D'_2e-D'_3=0\)

偏应变不变量：

\(D'_1=e_{kk}=0\)

\(D'_2=\frac{1}{2}e_{ij}e_{ij}\)

\(D'_3=\frac{1}{3}e_{ij}e_{jk}e_{ki}\)

偏应变主值，应变\(\varepsilon\)的Lode角与偏应力相关概念类似，此处略~

偏应变张量与应变张量的主方向一致，主值相差平均应变：\(e_i=\varepsilon_i-\varepsilon_0\)

等效应变：

\(\overline{\varepsilon}=\sqrt{\frac{2}{3}e_{ij}e_{ij}}=\sqrt{\frac{2}{9}[(\varepsilon_1-\varepsilon_2)^2+(\varepsilon_2-\varepsilon_3)^2+(\varepsilon_3-\varepsilon_1)^2]}\)

Deformation compatibility equation

变形协调方程/相容方程

\(\varepsilon_{ij,kl}+\varepsilon_{kl,ij}-\varepsilon_{ik,jl}-\varepsilon_{jl,ik}=0\)

其中 \(\varepsilon_{ij,kl}=\frac{\partial^2 \varepsilon_{ij}}{\partial x_k \partial x_l}\)

对于单连通体来说，变形协调方程是位移单值连续的充分必要条件

对于多连通体来说，除满足协调方程外还应保证切口处（多连通体可以在适当切口剪开变为单连通体）位移单值连续

若位移函数已知，变形协调方程自然满足（由位移求应变）

反之，由应变求位移函数时，应变分量之间需满足变形协调方程

Strain rate & Strain increment

构型

任意时刻\(t\)物体所占的区域称为构型

未变形状态（\(t=0\)）所占据的区域称为初始构型，建立固定的笛卡尔坐标系，物质点的位置矢量表示为

\(\pmb{r}=x\pmb{e}_x+y\pmb{e}_y+z\pmb{e}_z\)，其中\(x,y,z\)称为物质坐标/\(Lagrangian\)坐标

变形后所占的区域称为当前即时构型或当前构型，建立与初始构型相同的笛卡尔坐标系，物质点的变形后的位置矢量为

\(\pmb{R}=x'\pmb{e}_x+y'\pmb{e}_y+z'\pmb{e}_z\)，其中\(x',y',z'\)称为空间坐标/\(Euler\)坐标

在声明体积元、面积元、线元、应力、应变等物理量时，应当声明所相对的参考构型，不同参考构型使得物理量有不同定义

变形描述

\(Lagrangian\)描述/物质描述：以物质坐标为基本变量，始终追踪每一个物质点

\(Euler\)描述/空间描述：始终着眼于固定的空间点，占据空间点的物质点在不断变化

小变形假设下，\(Lagrangian\)坐标和\(Euler\)坐标之间的差别可以忽略，某些初始构型上的物理量可以近似当作即时构型上的物理量使用

变形率

对于位移场\(\pmb{u}(x,y,z,t)\)，物质点的位移相对时间的变化率即为物质点的运动速度

\(v_i=\frac{\partial u_i}{\partial t}=\dot{u}_i\)

已知时刻\(t\)物体的即时构型，在微小的时间间隔\(dt\)内，物质点的位移为\(v_idt\)

以即时构型为参考构型计算应变张量分量并除以\(dt\)得到单位时间产生的应变，称为变形率，用矩阵表示为

\([d_{ij}]= \left[ \begin{matrix} \frac{\partial v_x}{\partial x'} & \frac{1}{2}(\frac{\partial v_x}{\partial y'}+\frac{\partial v_y}{\partial x'}) & \frac{1}{2}(\frac{\partial v_x}{\partial z'}+\frac{\partial v_z}{\partial x'})\\ \frac{1}{2}(\frac{\partial v_y}{\partial x'}+\frac{\partial v_x}{\partial y'}) & \frac{\partial v_y}{\partial y'} & \frac{1}{2}(\frac{\partial v_y}{\partial z'}+\frac{\partial v_z}{\partial y'})\\ \frac{1}{2}(\frac{\partial v_z}{\partial x'}+\frac{\partial v_x}{\partial z'}) & \frac{1}{2}(\frac{\partial v_z}{\partial y'}+\frac{\partial v_y}{\partial z'}) & \frac{\partial v_z}{\partial z'} \end{matrix} \right]\)

变形率是相对于即时构型的物理量，大变形情况下仍然适用

应变率张量

对应变张量求物质时间导数，得到应变率张量，可表示为

\([\dot{\varepsilon}_{ij}]= \left[ \begin{matrix} \frac{\partial v_x}{\partial x} & \frac{1}{2}(\frac{\partial v_x}{\partial y}+\frac{\partial v_y}{\partial x}) & \frac{1}{2}(\frac{\partial v_x}{\partial z}+\frac{\partial v_z}{\partial x})\\ \frac{1}{2}(\frac{\partial v_y}{\partial x}+\frac{\partial v_x}{\partial y}) & \frac{\partial v_y}{\partial y} & \frac{1}{2}(\frac{\partial v_y}{\partial z}+\frac{\partial v_z}{\partial y})\\ \frac{1}{2}(\frac{\partial v_z}{\partial x}+\frac{\partial v_x}{\partial z}) & \frac{1}{2}(\frac{\partial v_z}{\partial y'}+\frac{\partial v_y}{\partial z}) & \frac{\partial v_z}{\partial z} \end{matrix} \right]\)

简记为 \(\dot{\varepsilon}_{ij}=\frac{1}{2}(v_{i,j}+v_{j,i})\)

应变率张量是相对初始构型而言的

小变形假设下，\(Lagrangian\)坐标和\(Euler\)坐标之间的差别可以忽略，变形率张量近似等于应变率张量

\(d_{ij}=\dot{\varepsilon}_{ij}=\frac{1}{2}(v_{i,j}+v_{j,i})\)

类似于应变张量\(\varepsilon_{ij}\)，应变率张量\(\dot{\varepsilon}_{ij}\)也可以求主方向、主应变率和不变量以及张量分解

应变率张量不变量

\(\dot{\overline{\varepsilon}}=\sqrt{\frac{2}{3}\dot{e}_{ij}\dot{e}_{ij}}=\sqrt{\frac{2}{9}[(\dot{\varepsilon}_1-\dot{\varepsilon}_2)^2+(\dot{\varepsilon}_2-\dot{\varepsilon}_3)^2+(\dot{\varepsilon}_3-\dot{\varepsilon}_1)^2]}\)

应变率张量和应变张量主方向一般不重合，其不变量和主应变率不等于应变张量的不变量和主应变求时间率,即

\(\dot{\overline{\varepsilon}}\neq\frac{\partial}{\partial t}(\overline{\varepsilon})\)

\(\dot{\varepsilon}_i\neq\frac{\partial}{\partial t}(\varepsilon_i)\)

只有应变各分量之间的比例在整个变形过程中始终保持不变时，上述等式关系才成立

应变增量

对于率无关材料（力学性质与应变率关系不大），可以用应变增量\(d\varepsilon_{ij}\)代替应变率

\(d\varepsilon_{ij}=\dot{\varepsilon}_{ij}dt=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x_j}(du_i)+\frac{\partial}{\partial x_i}(du_j))\)

表示加载过程中的应变改变量